Ряд обратных квадратов: Сумма ряда обратных квадратов (Basel problem)

Содержание

Сумма ряда обратных квадратов (Basel problem)

В истории математики имеется много случаев, когда кто-либо ставил задачу перед математическим миром в целом, и эта задача оставалась нерешенной в течение десятилетий или даже веков. Часто в процессе решения такой задачи появлялись новые области математики.

Этот пост – рассказ об одном из таких случаев, так называемой Basel problem (задаче о сумме ряда обратных квадратов, Базель – город в Швейцарии), впервые поставленной в качестве вызова европейским математикам в 1644 году. Она сопротивлялась всем попыткам ее решить до тех пор, пока молодой Леонард Эйлер в 1734 году не нашел ответ. Как увидит читатель, решение Эйлера – работа удивительной изобретательности, хотя уровень математики не превосходит в ней начального курса алгебры.

Задача

Basel problem формулируется просто: требуется найти точное значение следующей бесконечной суммы:

Как и для всех остальных бесконечных рядов, для этого ряда возникает вопрос, сходится ли он к конечному значению. Тот факт, что его члены становятся бесконечно малыми, не является достаточным для обеспечения сходимости. Например, следующий ряд

имеет бесконечную сумму, т.е. расходится, несмотря на то, что его члены становятся сколь угодно малыми (этот ряд называется гармоническим, и доказательство его расходимости приведено ниже).

Тем не менее, для ряда обратных квадратов ранее было показано, что он сходится к числу, меньшему 2, только не было известно точное значение, к которому он сходится.

Два соперника и их учитель делают безуспешную попытку

Первыми математиками мирового уровня, пытавшимися решить Basel problem, были швейцарцы, братья Якоб Бернулли (1654-1705) и Иоганн Бернулли (1667-1748). Задача названа так, потому что Базель — их родной город. Бернулли были среди первых, кто понял и начал применять новое исчисление, о котором они узнали от Готфрида Лейбница (1646-1716), — одного из его авторов. К 1690 году они считались ведущими европейскими математиками. К сожалению, к этому времени они стали ожесточенными, непримиримыми соперниками, и казалось, испытывали практически убийственную ненависть друг к другу. Каждый из них мог бы лгать, воровать, пошел бы на плагиат, если бы это помогло ему казаться лучше другого. Соперничество не прекратилось даже со смертью Якоба — Иоганн пытался выдать некоторые неопубликованные работы своего покойного брата за свои собственные, и он также отказался помочь опубликовать трактат Якоба по теории вероятности, опасаясь, что это поднимет репутацию брата. По крайней мере, Иоганн, вполне возможно, был просто… нехорошим человеком — когда его собственный сын Даниил позже выиграл математический приз, за который Иоганн также боролся, он выгнал Даниила из дома и лишил его наследства.

В течение многих лет братья Бернулли пытались решить задачу о сумме ряда обратных квадратов, что, вероятно, частично было обусловлено желанием победить соперника, но они не добились успеха. Лейбниц также работал над проблемой в течение многих лет и не получил никакого результата.

Вступление Эйлера

Леонард Эйлер (1707–1786) родился в Базеле, и так случилось, что его отец знал Иоганна Бернулли. Когда Леонарду было 14 лет, его отец попросил Иоганна, чтобы тот учил юношу математике. Иоганн нехотя согласился, но затем быстро обнаружил, что его новый ученик имеет способности, превосходящие все те, какие он когда-либо видел. Вскоре роли поменялись, и Иоганн учился у Эйлера. Иоганн посоветовал отцу Леонарда отказаться от идеи сделать Леонарда министром, предложив ему стать математиком. К чести его, отец согласился.

Через несколько лет Эйлер занял пост в Академии в Санкт-Петербурге, в России. Именно там, в 1734 году, Эйлер нашел решение Basel problem. В результате его сразу же стали считаеть ведущим математиком Европы.

Решение

Для начала рассмотрим алгебраическое уравнение, степень которого я произвольно полагаю равной четырем:

Предположим, что его корни и . Тогда мы можем разложить полином на линейные множители следующим образом:

Если ни один из этих корней не равен нулю, мы можем записать также

Далее, имеются некоторые полиномы бесконечной степени, например,

Эти особые бесконечные ряды были открыты Ньютоном, и довольно легко вывести такие разложения с помощью математического анализа. Здесь я буду считать его известным. Мы знаем нули синуса, это Первой идеей Эйлера было предположение, что теорема о разложении на множители верна для бесконечных полиномов, т.е.

Заметим, что каждая пара множителей и перепишем равенство

Теперь Эйлер получил, что бесконечная сумма равна бесконечному произведению!? (также обратите внимание на знаменатели в этом произведении — в них имеются квадраты натуральных чисел, что намекает о присутствии где-то здесь ряда обратных квадратов).

Хотя произведение состоит из бесконечного числа множителей, мы можем выяснить, какой коэффициент будет при каждой степени . Рискуя обидеть читателя, я все же объясню: рассмотрим конечное произведение

Каждый элемент при раскрытии скобок в произведении, скажем , равен произведению слагаемых, взятых из каждой скобки слева по одному. Так, Эйлер увидел, что в нашем бесконечном произведении член, содержащий , будет равен

Однако, поскольку бесконечное произведение равно бесконечному ряду для , коэффициент при должен быть равен . Приравняем коэффициенты и умножим полученное равенство на , получим

Итак, через 90 лет был найден ответ. Он остается одним из самых странных, самых удивительных результатов в математике. Мы связываем постоянную с кругами, а Basel problem содержит обратные квадраты. И что здесь вдобавок делает синус из тригонометрии? Когда Иоганн Бернулли увидел решение Эйлера, он должен был сказать: “Был бы только мой брат жив, чтобы увидеть это’’. Возможно, Иоганн смягчился с годами.

Это не все, что установил Эйлер в своей исторической работе. Используя подобные методы, он показал, что

Оставался очевидный вопрос: а что с нечетными степенями натуральных чисел? Оказывается, что подобные методы не работают для нечетных степеней. В течение всей своей жизни Эйлер много раз пытался найти эти суммы, но ему этого сделать не удалось. В конце концов он просто сказал: “Задача представляется сложной’’. Когда Эйлер сказал о математической задаче, что она сложная, обычным математикам, вероятно, не стоит заботиться о ее решении. И конечно же, сегодня, спустя 200 с лишним лет, эти суммы не найдены.

Следствия

Практики могут задать вопрос, оправданы ли все эти усилия, принесшие результат, не имеющий никакой очевидной пользы. Простой ответ состоит в том, что эта задача из теории чисел, а в теории чисел подобные вопросы просто не возникают. Менее циничным ответом будет тот, что теория чисел иногда находит свой путь в реальный мир. Хорошим примером тому является теорема Ферма, открытая им в 1640 году, так называемая малая теорема Ферма. На этом абстрактном результате основан алгоритм криптографии, который применяется в Интернете для передачи секретной информации, такой как номера кредитных карт. Без него электронная коммерция была бы невозможна.

Что касается задачи о сумме ряда обратных квадратов, то позже оказалось, что она тесно связана с гипотезой Римана, которая сегодня считается одной из самых важных нерешенных проблем в математике. Эта гипотеза была предложена в 1859 году. Она считается верной, но до сих пор ее еще никто не доказал. Нам нужен новый Леонард Эйлер.

Приложение. Расходимость гармонического ряда

Как было написано выше, это ряд:

Якоб Бернулли доказал, что эта сумма бесконечна. Якоб заметил, что ряд может быть разделен на группы слагаемых:

Он предположил, что сумма слагаемых в каждой группе единица или больше. Если так, то сумма гармонического ряда бесконечна, поскольку она равна сумме бесконечного числа слагаемых, каждое из которых единица или больше (групп бесконечно много). Чтобы доказать предположение, рассмотрим одну группу без первого слагамого:

Число слагаемых в этой группе равно . Наименьшее слагаемое — последнее, так что

или

Добавляя к обеим частям равенства, получаем требуемый результат.

Перевод статьи The Basel Problem.

Ряд обратных квадратов — Вики

Ряд обратных квадратов — бесконечный ряд:

112+122+132+142+152+…{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots }

Задача нахождения суммы этого ряда долгое время оставалась нерешённой.{-s}}}\cdot \dots }

Произведение в правой части берётся по всем простым числам.

История

Впервые рассуждения о ряде обратных квадратов историки обнаружили в диссертации итальянского математика Пьетро Менголи (Novae quadraturae arithmeticae seu de additione fractionum, 1644 год, опубликована в 1650), но тогда задача не вызвала общего интереса. Менголи определил, что ряд сходится, и нашёл сумму первых 10 членов^[3]:

19683291270080≈1,54977.{\displaystyle {\frac {1968329}{1270080}}\approx 1{,}54977.}

Позднее найти сумму ряда безуспешно пытались многие выдающиеся математики, в том числе Лейбниц, Стирлинг, де Муавр, Христиан Гольдбах, братья Якоб и Иоганн Бернулли. Они также вычислили несколько значащих цифр суммы ряда. Гольдбах показал, что сумма заключена в интервале (41/25; 5/3), Стирлинг в трактате «Methodus Differentialis» (1730) сумел вычислить довольно точное значение суммы: 1,644934066, однако никто не мог точно определить, с чем это значение может быть связано^[3]^[4]^[5].

Леонард Эйлер

Якоб Бернулли призвал в своей книге «Арифметические предложения о бесконечных рядах» (1689): «Если кому-либо удастся найти то, что до сих пор не поддавалось нашим усилиям, и если он сообщит это нам, то мы будем очень ему обязаны»^[2]^[6]. Но при жизни Якоба Бернулли решение так и не появилось.

Первым успеха добился Эйлер, спустя почти полвека после обращения Бернулли. Скорее всего, о данной проблеме Эйлеру рассказал Иоганн Бернулли, брат Якоба. Эйлер сообщил об открытии в заметке «О суммах обратных рядов» (De summis serierum reciprocarum, 1735 год)^[7] для журнала «Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae» Петербургской академии наук. Найденное им значение суммы Эйлер также сообщил письмом своему другу Даниилу Бернулли, сыну Иоганна Бернулли^[8]:

Недавно я нашёл, и совсем неожиданно, изящное выражение для суммы ряда, связанного с квадратурой круга… А именно, шестикратная сумма этого ряда равна квадрату периметра круга, диаметр которого 1.{2}}{6}},} используя уже известное в тот период приближённое значение числа π{\displaystyle \pi }, и убедился, что оба значения, в пределах точности счёта, совпадают. Впоследствии (1743) Эйлер опубликовал ещё два разных способа суммирования ряда обратных квадратов^[11].
Сходимость ряда
Чтобы убедиться, что ряд обратных квадратов сходится, достаточно доказать, что сходится следующий ряд^[12]:
1+11⋅2+12⋅3+13⋅4+14⋅5+…{\displaystyle 1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{4\cdot 5}}+\dots }
Этот ряд мажорирует ряд обратных квадратов, потому что каждое слагаемое в нём (кроме первого) больше, чем в ряде обратных квадратов. Его можно представить в виде телескопической суммы:
1+(1−12)+(12−13)+(13−14)+…{\displaystyle 1+\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right)+\dots }
Частичная сумма Sn{\displaystyle S_{n}} этого ряда равна 2−1n,{\displaystyle 2-{1 \over n},} поэтому ряд сходится, и его сумма равна 2.{2}}{6}}.}
Изложенный метод основан на разложении синуса в бесконечное произведение, однако Эйлер не дал этому разложению должного обоснования, ограничившись ссылкой на то, что и левая, и правая части, рассматриваемые как многочлены, имеют одни и те же корни: 0,±π,±2π,±3π,±4π…{\displaystyle 0,\pm \pi ,\pm 2\pi ,\pm 3\pi ,\pm 4\pi \dots } Иоганн и Даниил Бернулли указали на некорректность такого вывода, поскольку он применим только к многочленам конечной степени, а не к бесконечным рядам. В связи с этим Эйлер опубликовал ещё несколько способов суммирования, обоснованных более строго и приводящих к тому же результату^[11]. Тем не менее указанное разложение оказалось верным и было впоследствии доказано^[17].
Второй метод Эйлера
В 1741 году Эйлер учёл указанную выше критику своего первоначального метода и опубликовал другой метод суммирования, основанный на интегрировании рядов^[18]. Для этого рассматривается интеграл вида
E=∫01arcsin⁡x1−x2 dx=∫01arcsin⁡x darcsin⁡x=π28.{2}}}+\dots }
Некоторые применения
Сумма ряда обратных квадратов, она же ζ(2),{\displaystyle \zeta (2),} появляется во многих задачах теории чисел.
Сумма делителей натурального числа N{\displaystyle N} растёт в среднем^[28] как линейная функция ζ(2)⋅N{\displaystyle \zeta (2)\cdot N}.
Вероятность того, что два случайным образом выбранных натуральных числа в интервале от 1 до N{\displaystyle N} окажутся взаимно простыми, с ростом N{\displaystyle N} стремится к 1/ζ(2).{\textstyle 1/\zeta (2).} Другими словами, средняя плотность взаимно простых чисел в числовом ряду^[29] равна 1/ζ(2).{\textstyle 1/\zeta (2).}
Пусть Q(x){\displaystyle Q(x)} — количество свободных от квадратов натуральных чисел в промежутке от 1 до x.{\displaystyle x.} Для него имеет место приближённая формула^[30]^[31]^[32]
Q(x)≈xζ(2){\displaystyle Q(x)\approx {\frac {x}{\zeta (2)}}}
Накопленная функция Эйлера^[en]
Φ(n):=∑k=1nφ(k),n∈N,{\displaystyle \Phi (n):=\sum _{k=1}^{n}\varphi (k),\quad n\in \mathbf {N} ,}
где φ(n){\displaystyle \varphi (n)} — функция Эйлера, имеет следующую асимптотику^[33]:
Φ(n)∼12ζ(2)⋅n2+O(nlog⁡n).{2}+O\left(n\log n\right).}
Примечания
↑ Стюарт, Иэн. Невероятные числа профессора Стюарта = Professor Stewart’s incredible numbers. — М.: Альпина нон-фикшн, 2016. — С. 222—223. — 422 с. — ISBN 978-5-91671-530-9.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Дербишир, 2010, с. 90—92, 103—109.
↑ ¹ ² Sofo, Anthony. The Basel Problem with an Extension (неопр.). Дата обращения: 3 августа 2020.
↑ Leonhard Euler biography (неопр.). Дата обращения: 16 апреля 2016.
↑ Euler et le problème de Bâle (неопр.). Дата обращения: 5 августа 2020.
↑ Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — Изд. 2-е, исправленное. — М.: Наука, 1975. — С. 40.
↑ Leonhard Euler. De summis serierum reciprocarum (неопр.). Дата обращения: 17 апреля 2016.
↑ Наварро, Хоакин. До предела чисел (неопр.). Дата обращения: 10 августа 2016.
↑ ¹ ² История математики, том III, 1972, с. 337.
↑ Дербишир, 2010, с. 92.
↑ ¹ ² Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: ГИФМЛ, 1960. — С. 143—144. — 468 с.
↑ ¹ ² Воробьёв Н. Н. Теория рядов. — 4-е изд. — М.: Наука, 1979. — С. 52. — 408 с. — (Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов).
↑ ¹ ² Айгнер, Циглер, 2006, с. 49.
↑ Borwein, Borwein, Dilcher, 1989
↑ Антонио Дуран, 2014, с. 109—114.
↑ ¹ ² Кохась К. П., 2004.
↑ Фихтенгольц Г. М., 1966, с. 374—376.
↑ Фихтенгольц Г. М., 1966, с. 671.
↑ ¹ ² ³ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Изд. 3-е. — М.: Наука, 1963. — Т. III. — С. 443, 451. — 656 с.
↑ Фихтенгольц Г. М., 1966, с. 484.
↑ Фихтенгольц Г. М., 1966, с. 495—496.
↑ Robin Chapman.
↑ Wästlund, Johan. Summing inverse squares by euclidean geometry (неопр.).
↑ Why is pi here? And why is it squared? A geometric answer to the Basel problem на YouTube
↑ Жуков А. В. Вездесущее число «пи». — 2-е изд. — М.: Издательство ЛКИ, 2007. — С. 145. — 216 с. — ISBN 978-5-382-00174-6.
↑ ¹ ² Отрадных Ф. П. Математика XVIII века и академик Леонард Эйлер. — М.: Советская наука, 1954. — С. 33. — 39 с.
↑ Leonhard Euler, Institutiones calculi integrals
↑ Арнольд В. И. Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 70. — 72 с.
↑ Cohen E. Arithmetical functions associated with arbitrary sets of integers (англ.) // Acta Arithmetica. — 1959. — Vol. 5. — P. 407—415. (см. также замечание к статье: Errata. Замечание касается «Corollary 3.3» на с. 413).
↑ Jia C.-H. The distribution of square-free numbers (англ.) // Science in China. Series A — Mathematics, Physics, Astronomy & Technological Science. — 1993. — Vol. 36, iss. 2. — P. 154—169. — doi:10.1360/ya1993-36-2-154.
↑ Pappalardi F. A Survey on k-freeness // Number Theory. Proceeding of the Conference in Analytic Number Theory in Honor of Prof. Subbarao (англ.) / Vol. Eds.: S. D. Adhikari, R. Balasubramanian, K. Srinivas. — Mysore: Ramanujan Mathematical Society, 2002. — P. 77—88. — 161 p. — (Lecture Notes Series: Number 1). — ISBN 9788190254510.
↑ Sinha K. Average orders of certain arithmetical functions (англ.) // Journal of the Ramanujan Mathematical Society. — 2006. — Vol. 21, iss. 3. — P. 267—277.
↑ Weisstein, Eric W. Totient Summatory Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Литература
Айгнер М., Циглер Г. Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времён Евклида до наших дней. — М.: Мир, 2006. — С. 49. — 256 с. — ISBN 5-03-003690-3.
Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — С. 90—92, 103—109. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
Дуран, Антонио. Поэзия чисел. Прекрасное и математика. — М.: Де Агостини, 2014.{2}\approx 1{,}6449340668} см. последовательность A013661 в OEIS.
Решение данной проблемы не только принесло молодому Эйлеру мировую славу, но и оказало значительное влияние на дальнейшее развитие анализа, теории чисел, а впоследствии — комплексного анализа. В очередной раз после открытия ряда Лейбница число π {\displaystyle \pi } вышло за пределы геометрии и подтвердило свою универсальность. Наконец, ряд обратных квадратов оказался первым шагом к введению знаменитой дзета-функции Римана.
1. История
Впервые рассуждения о ряде обратных квадратов историки обнаружили в работах итальянского математика Пьетро Менголи 1644, но тогда задача не вызвала общего интереса. Позднее найти сумму ряда безуспешно пытались многие выдающиеся математики, в том числе Лейбниц, Стирлинг, де Муавр, братья Якоб и Иоганн Бернулли. Они вычислили несколько значащих цифр суммы ряда, Якоб Бернулли строго доказал, что ряд сходится к некоторому конечному значению, однако никто не смог определить, с чем это значение могло бы быть связано.
Якоб Бернулли призвал в своей книге «Арифметические предложения о бесконечных рядах» 1689: «Если кому-либо удастся найти то, что до сих пор не поддавалось нашим усилиям, и если он сообщит это нам, то мы будем очень ему обязаны». Но при жизни Якоба Бернулли решение так и не появилось.
Первым успеха добился Эйлер, спустя почти полвека после обращения Бернулли. Скорее всего, о данной проблеме Эйлеру рассказал Иоганн Бернулли, брат Якоба. Эйлер сообщил об открытии в заметке «О суммах обратных рядов» для журнала Петербургской академии наук. Найденное им значение суммы Эйлер также сообщил письмом своему другу Даниилу Бернулли, сыну Иоганна Бернулли:
Недавно я нашёл, и совсем неожиданно, изящное выражение для суммы ряда, связанного с квадратурой круга… А именно, шестикратная сумма этого ряда равна квадрату периметра круга, диаметр которого 1.{2}}{6}},} используя уже известное в тот период приближённое значение числа π {\displaystyle \pi }, и убедился, что оба значения, в пределах точности счёта, совпадают. Впоследствии 1743 Эйлер опубликовал ещё два разных способа суммирования ряда обратных квадратов, один из них описан ниже как 4-й способ из книги Г. М. Фихтенгольца.
2. Сходимость ряда
Чтобы убедиться, что ряд обратных квадратов сходится, достаточно доказать, что сходится ряд-мажоранта:
1 + 1 ⋅ 2 + 1 2 ⋅ 3 + 1 3 ⋅ 4 + 1 4 ⋅ 5 ⋯, {\displaystyle 1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{4\cdot 5}}\cdots \,}
потому что каждое слагаемое в нём кроме первого больше, чем в ряде обратных квадратов. Представим новый ряд в виде:
1 + 1 − 1 2 + 1 2 − 1 3 + 1 3 − 1 4 + ⋯ {\displaystyle 1+\left1-{\frac {1}{2}}\right+\left{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right+\left{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right+\cdots \ }
Очевидно, частичная сумма S n {\displaystyle S_{n}} этого ряда равна 2 − 1 n, {\displaystyle 2-{1 \over n},} поэтому ряд сходится, и его сумма равна 2.{2n}}}}
Он основан на двух формулах разложения гиперболического котангенса. Первая стр. 484 справедлива при | x | 1 {\displaystyle |x|
ряд Эйлера, гармонический ряд, последовательность Фибоначчи
Итак, в первой части мы нашли суммы следующих рядов:

.
Рассмотрим теперь, что будет, если в третьем ряду числители будут образовывать не арифметическую прогрессию, а последовательность Фибоначчи. Найдём сумму:
.
Опять-таки применим метод деления и найдём, чему равна половина этой суммы:
.
Bычтем из первого равенства второе:
Но ведь справа после первой единицы идёт исходная последовательность, разделённая на 4, поэтому:
Значит, S=4.
Итак,
. Рассмотрим теперь ещё один интересный способ решения таких задач, который был применён Эйлером для нахождения суммы обратных квадратов:

.
Сделаем сначала небольшое отступление. Всем известно, что многочлен n-й степени с корнями x₁,x₂,…x_n может быть представлен в виде произведения A(x₁-x)(x₂-x)…(x_n-x). При этом значение многочлена в точке x=0 будет равно Ax₁x₂…x_n. Если мы хотим, чтобы это значение было равно единице, коэффициент A следует взять равным
Тогда данный многочлен может быть записан как:

Рассмотрим теперь функцию . Хотя её значение в точке x=0 не существует, но в окрестностях её будет стремиться к единице. Кроме того, ось Ox график этой функции будет пересекать в точках . Так что можно представить её следующим бесконечным произведением
Соседние множители можно объединить по формуле разности квадратов:
С другой стороны, поскольку функция синус раскладывается в ряд Маклорена следующим образом:
то
Этот многочлен и получившийся в результате перемножения бесконечного произведения должны быть тождественно равны.
Свободные члены и там, и там равны единице. А при квадрате икса в ряду Маклорена стоит коэффициент , а в ряду, полученном из произведения, при x² будет стоять сумма .
Значит
Домножив обе части на квадрат пи, получим:
Итак, и эта сумма найдена.
Увидев столько интересных сумм задумываешься: а что получится, если просто складывать дроби
Может, тут тоже сумма будет равна какому-нибудь целому числу или будет выражаться формулой, куда входят пи или е?
Оказывается, нет. Эта сумма будет расти до бесконечности, и сейчас мы докажем это.
Для этого рассмотрим следующие соотношения:
1 = 1

…
Видите? Сумма 2ⁿ слагаемых больше, чем , и следующие 2ⁿ слагаемых увеличивают эту сумму ещё на величину, большую, чем . Так что суммируя обратные величины натурального ряда (такой ряд ещё называется гармоническим), можно превысить любое наперёд заданное число.2>6$%, и от $%1.65$% оно отличается на сколько-то тысячных. Тогда $%n=10$% должно дать хорошую точность. Пробуем (уже без «нелегальной» информации), и оно подходит. К слову сказать, $%n=9$% даёт оценку, которая чуть превышает нужную.
Здравствуйте
Математика – это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
1. Базельская задача

Для гармонического ряда аналогичная итерация дает сумму 14.3927257228, отчего гармонический ряд еще называют медленно расходящимся рядом.
Эйлер вычислил несколько первых знаков, после чего, обладая сверхъестественными способностями к вычислениям, увидел, что сумма базельского ряда равна
π 2 /6
После чего он строго доказал, что так оно и есть. Сделал он это еще в 1735 году, в Петербурге. Ход его рассуждений можно проиллюстрировать следующим образом: возьмем за основу известный ряд Тейлора:
Из школьного курса мы знаем, что при x=0, ± π, ± 2π, ± 3π . синус равен нулю.
Если рассмотреть в качестве примера алгебраическое уравнение 4-й степение:
Пусть его корни равны b, c, d и e. Тогда его можно разложить на линейные множители:
Ряд Тейлора, являясь многочленом, по основной теореме алгебры, можно аналогично представить в виде произведения одночленов:
Правая часть этого равенства преобразовывается к виду:
Если каждое выражение в скобках приравнять к нулю:
x 2 – π 2 = 0
Далее:
x 2 = π 2
Далее:
x 2 / π 2 = 1
Далее:
1 – x 2 / π 2 = 0
После чего правая часть становится равной:
При этом
Делим обе части равенства на x и получаем
Поскольку
имеем:
K ‘ =1
Получаем ряд:
После перемножения и расрытия скобок в правой части:
Делим обе части на -x 2 /π 2 и получаем:
что и требовалось доказать. Для 4-й степени:
Для 6-й степени:
ζ(8) = π 8 / 9450
ζ(10) = 691*π 10 / 638512875
ζ(12) = 2*π 12 / 18243225
ζ(14) = 3617*π 14 / 325641566250
.
Для положительных целых четных значений, кратных двум, Эйлер нашел упрощенную формулу с использованием чисел Бернулли:
или так
В 1755 году Эйлер опубликовал Наставления к дифференциальному исчислению, в которых подвел итог доказательству Базельской задачи.
На данный момент существует много ее различных доказательств, например, есть варианты, в которых используется только интегральное исчисление.
Ряд, состоящий из величин, обратных простым числам, расходится, причем еще медленнее, чем гармонический, примерно к ln(ln(p)) :
Сумма же гармонического ряда оценивается как ln(n+1) 2. Так появилась знаменитая дзета-функция Эйлера:
Он смог вычислить ее для любого четного значения S. Для нечетных функций простых формул до сих пор не найдено.
Таблица для первых 5 целых значений дзета-функции, с точностью до 12 знаков после запятой:
2 = 1.644934066848
3 = 1.202056903159
4 = 1.082323233711
5 = 1.036927755143
6 = 1.017343061984
Дзета-функция определена не только для целых, но и рациональных чисел. Например, для s=1.1 она равна 10.58448, для s=1.0001 она равна 10000.577222.
В положительной области определения дзета-функция выглядит так:
Вообще, глядя на уравнение дзета-функции, можно сделать вывод, что она существует только для S > 1. Попробуйте подставить S 1.
На самом деле дзета-функция существует для любого значения, кроме 1, причем не только целого. В области слева от 1 дзета-функция выглядит так:
В начале отрицательной области определения дзета-функция выглядит так:
Для вычисления дзета-функции в области 1
Формула:
Между дзета-функцией и эта-функцией существует связь:
Например, чтобы вычислить дзета-функцию для 0.5, сначала с помощью ряда вычисляем эта-функцию для 0.5. Зная значения эта-функции, можно с помощью последней формулы вычислить аналогичные значения для дзета-функции. Так, например η(1/2)=0.604. . Отсюда ζ(1/2)= -1.460.
Еще более странным выглядит алгоритм для вычисления дзета-функции для отрицательных значений. Эйлер в 1749 году предложил выразить ζ(1-x) через ζ(x). Т.е. например чтобы вычислить дзета-функцию ζ(-15), надо вычислить ζ(16) и подставить его в формулу, которая выглядит так:
Эта формула работает для целых S. Дзета-функция равна нулю всегда, когда S – отрицательное четное число. Эти нули еще называют тривиальными нулями дзета-функции.
Дзета-функция является фундаментальной функцией современной математики. Она может проявляться в самых неожиданных местах.
Так, для S=3 она равна 1.2020569. Это число называется постоянной Апери.
Постоянная Эйлера
очень важна, т.к. она используется самым неожиданным образом во множестве дисциплин: в статистике. квантовой механике, анализе и теории чисел. Существует связь между этой константой и дзета-функцией:
Существует связь между дзета-функцией и функцией Мебиуса. Областью определения функции Мебиуса являются натуральные числа 1,2,3. Вычисляется функция Мебиуса по следующему алгоритму:
μ(1)=1.
μ(n)=0, если среди делителей числа n есть квадрат.
μ(n)=-1, если число n – простое или является произведением нечетного числа различных простых чисе.
μ(n)= 1 , если число n является произведением четного числа различных простых чисел:
Существует связь между дзета-функцией и числом делителей натуральных чисел:
Существует связь между дзета-функцией и числом простых делителей натуральных чисел:
Существует связь между дзета-функцией и вероятностью выбора взаимно-простых чисел. Пусть имеется отрезок из натуральных чисел [1;N]. Из него случайно выбираем k целых чисел. Вероятность того, что эти числа взаимно просты в совокупности:
В частности, два случайно выбранных числа взаимно просты с вероятностью 6/π 2
3. Тождество Эйлера
Еще более загадочная связь существует между дзета-функцией и простыми числами. Эта связь также была установлена Эйлером. Он нашел ее, применив к дзета-функции классический алгоритм просеивания – решето Эратосфена. Доказательство может быть проиллюстрировано следующим образом:
Исходно дзета-функция имеет вид:
Умножим обе части равенства на 1/2 S , получим:
Вычитая второе из первого, удаляем все элементы с делителем 2:
Умножим обе части равенства на 1/3 S , получим:
Вычитая последнее из предпоследнего, удаляем все элементы с делителем 3:
Применяя в дальнейшем метод просеивания, умножая последовательно на величину, обратную очередному простому числу – 5, 7, 11, 13 и т.д., в конце концов получим:
Разделив последнюю формулу на все множители, получим знаменитое тождество Эйлера, в левой части которого стоит сумма величин, обратных степеням всех натуральных чисел, а в правой части стоит произведение величин, обратных степеням всех простых чисел:
которое можно записать так:
или так:
Впервые тождество упоминается Эйлером в мемуаре Various observations about infinite series, изданном в Петербурге в 1737 году, и выглядело оно вот так:
4. О свойствах степенных рядов
У Эйлера есть работа (E352 по каталогу) о свойствах степенных рядов, которая по латински звучит как Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques. Ее английский перевод – Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series.
К моменту написания этой работы Эйлер уже определил свою знаменитую формулу для дзета-функции в виде обратного степенного ряда. Он также нашел явные формулу для четных натуральных степеней S. Но дзета-функция на тот момент была определена лишь для S > 1. В этой работе он расширяет область определения дзета-функцию на всю числовую область и выводит функциональное выражение, используя эта-функцию. Зная значение эта-функции, мы можем вычислить дзета-функцию в любой области значения, в том числе для S
Зная сумму одного из этих рядов, можно вычислить сумму другого ряда, точнее, если мы знаем сумму первого ряда для m, то сможем вычислить сумму второго ряда для : n = m+1.
Сумма первого ряда для m=1 равна 1/4 . В современных терминах это называется сумма Абеля, она определена для x, который по модулю меньше 1. Эта сумма получена исходя из того, что ряд
эквивалентен
Последнее выражение при x=1 равно 1/4.
Для других степеней аналогично:
Если подставить в правой части x=1, получим, что для второй степени сумма равна нулю, третьей – минус 2/16, четвертой – опять ноль, пятой – плюс 16/64, шестой – опять ноль и т.д.
В общем случае формула для вычисления n–й степени:
Каким образом Эйлер получил эти зависимости ? В качестве исходного ряда возьмем следующий:
Сначала умножим его на x, потом продифференцируем, и получим равенство для первой степени. Потом возьмем это равенство, умножим на x, опять продифференцируем, и получим равенство для второй степени, и т.д.
Далее Эйлер приводит формулы для расчета дзета-функции для четных положительных S. В общем виде формула выглядит так:
Здесь B – число Бернулли. Следующий код вычисляет первые несколько значений дзета-функцию по этой формуле с использованием чисел Бернулли:
Матем. просв., сер. 3, 2004, выпуск 8,
Наш семинар: математические сюжеты
Сумма обратных квадратов
Аннотация: В этой заметке мы рассказываем о том, как можно разными способами найти значение суммы
$$ 1+frac14+frac19+frac1<16>+frac1<25>+dotsb. $$
Вероятно, все изложенные здесь способы являются известными. Да и попытки устроить ревизию в этом хозяйстве уже тоже предпринимались.
Толчком к написанию этого текста послужило наблюдение, изложенное в параграфе 7, пополнению коллекции доказательств сильно помогли статья [12] и дискуссии в [18].
Полный текст: PDF файл (317 kB)
Список литературы: PDF файл HTML файл
Тип публикации: Научно-популярный, образовательный материал
Образец цитирования: К. П. Кохась, “Сумма обратных квадратов”, Матем. просв., сер. 3, 8 , Изд-во МЦНМО, М., 2004,
Цитирование в формате AMSBIB
Кохась
paper Сумма обратных квадратов
serial Матем. просв., сер.
О математических статьях: mancunian — LiveJournal
Грубо говоря, есть два типа математических статей: те, где что-то доказывается и те, где что-то вычисляется, а потом уже доказывается (или доказывается в процессе вычисления). Например, знаменитый результат Апери о том, что сумма обратных кубов есть число иррациональное — «доказательный», а тот фольклорный результат, что сумма обратных квадратов есть π²/6, есть факт «вычислительный».
Какой из этих фактов вас больше вставляет? Точнее, есть ли среди здесь присутствующих такие, которых больше вставляет результат Апери? Наверняка есть. Но я к ним не принадлежу. Скажем так: если бы Апери доказал, что сумма обратных кубов есть число рациональное, я бы первый лег от восхищения. А иррациональное… ну что тут удивительного? и трансцендентное, наверное — так что же? А вот точное значение суммы обратных квадратов есть одно из чудес элементарного анализа. И предугадать такой результат невозможно.
Или вот формула Стирлинга. Любой, кто в детстве баловался с факториалами, не мог не задать себе вопрос: насколько быстро растет n! ? Ответ, когда ты узнаешь его, ошарашивает своей нестандартностью… почему n! ~ (n/e)ⁿ √2πn ??? Как умножение последовательных натуральных чисел может быть связано с e и π??? Это чудо!
А потом тебя учат гамма-функции и той же формуле Стирлинга, но для комплексных значений. Эта муть занимает 10 страниц доказательства, особенно для самого общего случая области. И магия «настоящей» формулы Стирлинга убивается наповал… Но надо ведь, надо.
Собственно, каждому свое, как я уже отмечал выше. Мне лично грустно оттого, что очень хорошие математики, например, бьются над гипотезой близнецов… ну неужели после всех этих численных экспериментов у кого-то в здравом уме остались хоть какие-то сомнения в том, что число близнецов бесконечно?! И зачем это вообще нужно, кроме борьбы за место под солнцем в рядах «элиты», неясно…
Еще хуже дело обстоит с проблемой 3x+1. О, тут вообще всё запущено донельзя. Опять же, сомнений в том, что любое число за конечное число шагов вернется в 1, нет ни у кого — проверено до хрен знает какого предела. Особого смысла в этой задаче тоже нет, тем более что если заменить 3x+1 на другую линейную функцию, результат становится неверным. Тем не менее, я знаю человека, который мечтает доказать теорему для множества начальных значений положительной плотности, считая это огромным прорывом! (Но почему?!)
Кстати, насколько я понимаю, Гриша Перельман доказал справедливость классификации замкнутых трехмерных многообразий с точностью до гомеоморфизма, предложенной кем-то другим (а именно, Тёрстеном). Опять же, по-видимому (я не эксперт, так что поправьте меня, если я вру), ни у кого не было сомнений в правильности классификации; вопрос был именно в том, чтобы строго доказать, что метод работает для всяких неприятных случаев. Хотя это, конечно, тот случай, когда доказательство стоит потраченных усилий.
«Посчитать» что-либо нетривиальное удается крайне редко. Поэтому даже «немножечко, чайная ложечка — это уже хорошо!» Мне вот посчастливилось месяц примерно назад обнаружить некую константу, которая в некотором смысле «отделяет зерна от плевел» в одной арифметической задаче. Константа не бог весть какая — алгебраическая даже! — но сходу, до начала счета, была совершенно неочвидной. Мелочь, да… но приятная. Гораздо приятнее, чем сидеть и корпеть над доказательством какого-нибудь обобщения, которое лично тебе нужно «для дальнейшего», но решительно ничего удивительного не содержит.
Впрочем, это, как я уже отмечал (дважды причем, как истинный преподаватель, привыкший к плохим студентам) — чисто личное.
Калейдоскоп формул для пи
Калейдоскоп формул для пи
«…я считал, что есть две математики — алгебраическая и геометрическая, и что геометрическая математика принципиально “трансцендентна” для алгебраической.2$ (последнее равенство — это, по сути, основная теорема арифметики). Более серьезное обсуждение вопроса можно найти, например, в книге «Введение в теорию чисел» Харди и Райта.
4. Формула Валлиса
Если подставить $x=\pi/2$ в разложение Эйлера синуса в бесконечное произведение, то получается равенство $$ \frac\pi2= \frac{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdot6\cdot6\cdot\ldots}{1\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot\ldots} $$ Впрочем, Джон Валлис нашел эту формулу уже в середине XVII века, почти за 100 лет до формулы Эйлера, вычисляя некоторые интегралы.
В упоминавшейся выше статье Ягломов при помощи элементарной тригонометрии доказывается и формула Валлиса. А J. Wästlund нашел и доказательство (в духе «геометрического суммирования»), непосредственно связывающее произведение Валлиса с площадью круга — см. его статью (AMM, 2007) или лекцию Д. Кнута.
При помощи формулы Валлиса можно доказать, что если подкинуть монету $2n$ раз, то вероятность того, что орлов и решек выпадет в точности поровну, приблизительно равна $1/\sqrt{\pi n}$. наверх
Обратная квадратная матрица
6.3 — Обратная квадратная матрица
Реальные числа
При работе с действительными числами уравнение ax = b может быть решено относительно x путем деления обоих стороны уравнения на a, чтобы получить x = b / a, если a не было равным нулю. Поэтому казалось бы логичным что при работе с матрицами можно взять матричное уравнение AX = B и разделить оба сторон на A, чтобы получить X = B / A.
Однако это не сработает, потому что …
Нет матричного деления!
Хорошо, скажете вы.Вычитание было определено в терминах сложения, а деление — в терминах умножение. Поэтому вместо деления я просто умножу на обратное. Так оно и есть должно быть сделано.
Обратная матрица
Итак, что есть инверсия матрицы?
Ну, в реальных числах, обратное любому действительному числу a было числом a ^-1, так что a умножить на a ^-1 равняется 1. Мы знали, что для действительного числа обратное число равно обратному значению число, если число не было нулем.
Обратной квадратной матрице A, обозначенной A ^-1, является матрица так что произведение A и A ^-1 — это матрица идентичности. Идентификационная матрица, которая дает будет того же размера, что и матрица A. Вау, есть а много общего между действительными числами и матрицами. Это хорошо, правда — ты не хочу это быть что-то совсем другое.
A (A ^-1) = I или A ^-1 (A) = I
Но есть несколько исключений.Прежде всего, A ^-1 делает не значит 1 / A. Помните: «Матричного деления нет!» Во-вторых, A ^-1 делает не означает брать обратную величину каждого элемента в матрице А.
Требования к инверсу
Матрица должна быть квадратной (одинаковое количество строк и столбцов).
Определитель матрицы не должен быть нулевым (определители рассматриваются в разделе 6.4). Это вместо того, чтобы действительное число не равнялось нулю, чтобы иметь обратное значение, определитель не должен равняться нулю, чтобы иметь обратное.
Квадратная матрица, имеющая обратную, называется обратимой или невырожденной . Матрица, которая не у инверсии называется в единственном числе .
Матрица не обязательно должна иметь инверсию, но если она есть, то инверсия уникальна.
Трудный путь в поисках обратного
Матрица, обратная матрице A, будет удовлетворять уравнению A (A ^-1) = I.
Присоедините единичную матрицу к правой части исходной матрицы, чтобы у вас есть A слева и единичная матрица справа.Это будет выглядеть так [A | I].
Строка-уменьшить (предлагаю использовать поворот) матрицу пока в левой части не появится матрица идентичности. Когда левая сторона — это личность матрица правая сторона будет Обратной [I | А ^-1]. Если вы не можете чтобы получить единичную матрицу в левой части, тогда матрица сингулярна и не имеет обратного.
Возьмите расширенную матрицу с правой стороны и назовите ее обратной.
Ярлык для поиска инверсии матрицы 2 × 2
Обратную матрицу 2 × 2 можно найти с помощью…
Переключить элементы по главной диагонали
Возьмите противоположность двух других элементов
Делим все значения на определитель матрицы (так как мы не говорили о детерминанте, для системы 2 × 2 это произведение элементов на главной диагонали за вычетом произведения двух других элементов).
Пример ярлыка
Поехали с оригинальной матрицей
Шаг 1, переключение элементов на главной диагонали повлечет за собой переключение 5 и 7.
Шаг 2, возьмите противоположность двух других элементов, но оставьте их там, где они есть.
Шаг 3, найдите определитель и разделите на него каждый элемент. Определитель это произведение элементов на главной диагонали за вычетом произведения элементы от главной диагонали. Это означает, что определитель этой матрицы равен 7 (5) — (-3) (2) = 35 + 6 = 41. Делим каждый элемент на 41.
Матрица, обратная исходной матрице …
5/41 2/41
-3/41 7/41
Теперь, вы говорите, подождите минутку — вы сказали, что не было матричного деления.Деления по матрице нет. Вы можете умножить или разделить матрицу на скаляр (действительное число) и определитель является скаляром.
Использование калькулятора
Теперь, когда вы знаете, как найти единичную матрицу вручную, поговорим о практичности. Калькулятор сделаю это за вас.
Вход в матрицу
Нажмите клавишу Matrix (справа под клавишей X). На TI-83 + вам понадобится чтобы поразить 2 ^и Матрицы.
Стрелка к подменю «Правка».
Выберите матрицу для работы. У вас есть пять вариантов на выбор с TI-82 и десять на выбор. выбирайте из с TI-83. Обычно вы будете использовать [A]. Старайтесь избегать использования [E] для неуказанные причины, которые будут указаны, если вы изучаете конечную математику.
Введите количество строк, нажмите клавишу ВВОД, а затем введите количество столбцов, а затем войти.
Теперь вы вводите каждый элемент в матрицу, читая слева направо и сверху вниз. нажимать введите после каждого числа.Вы можете использовать клавиши со стрелками для перемещения, если вы допустили ошибку.
Выйдите (режим 2 ^и), когда закончите вводить все числа.
Использование матриц
Всякий раз, когда вам нужно получить доступ к созданной вами матрице, просто нажмите клавишу Matrix и выберите соответствующая матрица. Я бы посоветовал вам начать использовать Матрицу 1, Матрицу 2 и т. Д. Вместо Матрица, стрелка вниз, ввод. Это будет происходить быстрее, и вы будете много делать с этими матрицами.
Нахождение обратной матрицы на калькуляторе
Введите выражение [A] ^-1, перейдя в Матрицу 1 и нажав клавишу x ^-1.(-1).
Возможно, вам придется использовать клавиши со стрелками вправо или влево, чтобы прокрутить всю матрицу, чтобы записать ее вниз. По возможности дайте точные ответы.
Один из способов дать точный ответ — это заставить калькулятор переводить десятичные дроби в дроби для ты. В конце концов, дроби действительно ваши друзья (и я серьезно это имею в виду). Вы можете получить Калькулятор выполняет преобразование десятичной дроби в дробную, нажимая Math, Enter, Enter.
Также, если вы получите ответ типа 1.2E-12, шансы действительно хорошо, что число равно нулю, и это из-за неточности в калькуляторе что вы получаете такой ответ. Преобразуйте число до нуля.
Зачем понадобился инверс?
Я так рад, что вы спросили об этом.
Одно из основных применений обратного преобразования — решение системы линейных уравнений. Вы можете записать систему в матричной форме как AX = B.
Теперь предварительно умножьте обе стороны на обратную величину A. Убедитесь, что вы соблюдаете эти два условия.
Вы должны разместить инверсную матрицу рядом с матрицей. Это потому что инверсии должны быть рядом друг с другом (математически очень расплывчато, но вернемся к функциям), чтобы уничтожить друг друга.
Если вы умножаете, помещая что-то перед левой стороной (предварительное умножение), он должен идти впереди правой стороны. Если вы положите что-то позади (пост-умножение) левой стороны, она должна идти позади правой стороны.
Умножение матриц
НЕ коммутативно!
A ^-1 (AX) = A ^-1 (B)… предварительно умножить с обеих сторон по А ^-1
(A ^-1 A) X = A ^-1 B … используйте ассоциативный свойство для перегруппировки факторов
I X = A ^-1 B … при умножении на обратное вместе они становятся единичной матрицей
X = A ^-1 B … единичная матрица похожа на умножение на 1.
Если AX = B, то X = A ^-1 B
Итак, вы обычно цинично спрашиваете: «Вы только что решили другое уравнение, что это имеет какое-либо отношение? »
Решение систем линейных уравнений
Рассмотрим систему линейных уравнений
 3x + 2y - 5z = 12
 х - 3у + 2z = -13
5х - у + 4z = 10 
Запишите коэффициенты в матрицу A.
х y z
3 2 -5
1 -3 2
5 –1 4
Запишите переменные в матрицу X.
Запишите константы в матрицу B.
12
-13
10
Убедитесь, что AX = B
Этот шаг на самом деле не нужен, но я хотел показать вам, что это действительно работает.
AX будет (3 × 3) × (3 × 1) = 3 × 1 матрица. Матрица B также является матрицей 3 × 1, поэтому, по крайней мере, размеры работать правильно.
Вот A, умноженное на X.
3 2 -5 х 3x + 2y — 5z
1 -3 2 y = 1x — 3y + 2z
5 –1 4 z 5x — 1y + 4z
Обратите внимание, что это левая часть системы уравнений.В B — правая часть, значит, мы достигли равенства. Woohoo! Ты можешь написать система линейных уравнений в виде AX = B.
Итак, если вы можете написать систему линейных уравнений как AX = B, где A — коэффициент матрица, X — переменная матрица, а B — правая часть, вы можете найти решение системы X = A ^-1 B.
Поместите матрицу коэффициентов в [A] на калькуляторе и с правой стороны. стороной в [B].
Если вы попросили калькулятор найти обратный коэффициент матрица, это даст вам это для A ^-1
5/44 3/88 1/8
-3/44 -37/88 1/8
-7/44 -13/88 1/8
Вы можете сделать это, а затем умножить это на B, но было бы проще просто поместить все выражение в калькулятор и сразу получить ответ.Даже то, что показано ниже, — это больше работы, чем необходимо.
X = A ^-1 B = …
х 5/44 3/88 1/8 12 191/88
y = -3/44 -37/88 1/8 -13 = 519/88
z -7/44 -13/88 1/8 10 111/88
Итак, x = 191/88, y = 519/88 и z = 111/88.Это было бы настоящим боль решать вручную.
Это просто, почему мы не всегда так делаем?
Основная причина в том, что это не всегда работает.
Инверсии существуют только для квадратных матриц. Это означает, что если вы не то же самое количество уравнений в качестве переменных, то вы не можете использовать этот метод.
Не всякая квадратная матрица имеет инверсию. Если матрица коэффициентов A равна единственное число (не имеет обратного), тогда решения может не быть или может быть много решений, но мы не можем сказать, что это такое.
Перевертыши сложно найти вручную. Если у вас есть калькулятор, его нет так плохо, но помните, что калькуляторы не всегда дают вам ответ, который вы находясь в поиске.
матриц — Как найти инверсию только блока последней строки блочной матрицы?
Я бы назвал это матрицей с блочными стрелками, поскольку матрица со стрелками — это уже термин.
Я не знаю, что вы имеете в виду, говоря об инвертировании последнего блока строки, поскольку это не квадрат, но мы можем эффективно вычислить инверсию всей матрицы, используя формулу обращения блочной матрицы:
$$ \ begin {bmatrix} \ mathbf {A} & \ mathbf {B} \\ \ mathbf {C} & \ mathbf {D} \ end {bmatrix} ^ {- 1} = \ begin {bmatrix} \ mathbf {A} ^ {- 1} + \ mathbf {A} ^ {- 1} \ mathbf {B} \ left (\ mathbf {D} — \ mathbf {CA} ^ {- 1} \ mathbf {B} \ right) ^ {- 1} \ mathbf {CA} ^ {- 1} & — \ mathbf {A} ^ {- 1} \ mathbf {B} \ left (\ mathbf {D} — \ mathbf {CA} ^ {- 1} \ mathbf {B} \ right) ^ {- 1} \\ — \ left (\ mathbf {D} — \ mathbf {CA} ^ {- 1} \ mathbf {B} \ right) ^ {- 1} \ mathbf {CA} ^ {- 1} & \ left (\ mathbf {D} — \ mathbf {CA} ^ {- 1} \ mathbf {B} \ right) ^ {- 1} \ end {bmatrix} $$
Для удобства обозначим блоки матрицы следующим образом: $$ \ begin {bmatrix} A_1 & & & & B_1 \\ & A_2 & & & B_2 \\ & & \ ddots & & \ vdots \\ & & & A_k & B_k \\ C_1 & C_2 & \ cdots & C_k & D \ end {bmatrix} $$, где $ A_1, \ ldots, A_k $ — квадратные матрицы $ n \ times n $, $ B_1, \ ldots, B_k $ — матрицы $ n \ times m $, $ C_1, \ ldots, C_k $ — матрицы размером $ m \ times n $, а $ D $ — матрица размером $ m \ times m $.3) $ operations. Анализ экономии затрат в других случаях немного сложен, но вышеупомянутый алгоритм обычно экономит работу по сравнению с общим алгоритмом инверсии.
Использование элементарных операций со строками для определения A − 1
Линейная система называется квадратом , если количество уравнений совпадает с количеством неизвестных. Если система A x = b квадратная, то матрица коэффициентов A будет квадратной. Если A имеет инверсию, то решение системы A x = b можно найти, умножив обе стороны на A ⁻¹:
Этот расчет дает следующий результат:
Теорема D .Если A — это обратимая матрица n на n , то система A x = b имеет уникальное решение для каждого n -вектора b , и это решение равно A. ^-1 б .
Поскольку определение A ^-1 обычно требует большего количества вычислений, чем выполнение исключения по Гауссу и обратной подстановки, это не обязательно улучшенный метод решения A x = b (И, конечно, если не является квадратным, значит, у него нет обратного, поэтому этот метод не подходит даже для неквадратных систем.) Однако, если матрица коэффициентов A квадратная, и если A ^-1 известно или решение A x = b требуется для нескольких различных b , то этот метод действительно полезен как с теоретической, так и с практической точки зрения. Цель этого раздела — показать, как элементарные операции со строками, характеризующие исключение Гаусса-Жордана, могут быть применены для вычисления обратной квадратной матрицы.
Во-первых, определение: если элементарная операция со строкой (перестановка двух строк, умножение строки на ненулевую константу или добавление кратного одной строки к другой) применяется к единичной матрице, I , результат называется элементарной матрицей .Для иллюстрации рассмотрим единичную матрицу 3 на 3. Если поменять местами первую и третью строки,
или если вторая строка I умножить на −2,
или если −2 раза первая строка добавляется ко второй строке,
все эти результирующие матрицы являются примерами элементарных матриц. Первый факт, который потребуется для вычисления A ^-1, читается следующим образом: Если E — элементарная матрица, которая получается, когда конкретная операция элементарной строки выполняется над I, то произведение EA равно матрице, которая возникнет, если та же самая элементарная операция со строкой будет применена к A .Другими словами, операция элементарной строки в матрице A, может быть выполнена путем умножения A, слева на соответствующую элементарную матрицу. Например, рассмотрим матрицу
Добавляем −2 раза первую строку ко второй строке, получаем
Если эта же операция элементарной строки применяется к I ,
, то приведенный выше результат гарантирует, что EA должно быть равно A ′.Вы можете проверить, что
действительно правда.
Если A является обратимой матрицей, то некоторая последовательность операций с элементарной строкой преобразует A в единичную матрицу I . Поскольку каждая из этих операций эквивалентна умножению слева на элементарную матрицу, первый шаг при уменьшении A до I будет дан произведением E ₁ A , второй шаг будет следующим: дается по E ₂ E ₁ A и т. д.Таким образом, существуют элементарные матрицы E ₁, E ₂,…, E _k такие, что
Но это уравнение ясно показывает, что E _k… E ₂ E ₁ = A ⁻¹:
Начиная с E _k… E ₂ E ₁ = E _k… E ₂ E ₁ I , где правый сторона явно обозначает операции элементарной строки, применяемые к единичной матрице , I, , , те же операции элементарной строки, которые преобразуют A в I, преобразуют I в A ^-1.Для матриц n на n A с n > 3, это описывает наиболее эффективный метод определения A ^-1.
Пример 1 : Определить обратную матрицу
Поскольку операции с элементарными строками, которые будут применены к A , будут также применены к I , здесь удобно дополнить матрицу A с помощью единичной матрицы I :
Затем, когда A преобразуется в I, I будет преобразовано в A ⁻¹:
Теперь о последовательности операций с элементарной строкой, которые будут влиять на это преобразование:
С момента преобразования [ A | I ] → [ I | A ⁻¹] показывает
.
обратная матрица A равна
Пример 2 : Какому условию должны соответствовать элементы общей матрицы 2 на 2
удовлетворить, чтобы A был обратимым? Что в этом случае является инверсией A ?
Цель состоит в том, чтобы произвести преобразование [ A | I ] → [ I | A ^-1].Сначала добавьте A единичной матрицей 2 на 2:
Теперь, если a = 0, поменяйте строки. Если c также 0, то процесс уменьшения A до I даже не может начаться. Итак, одно необходимое условие для того, чтобы A было обратимым, состоит в том, что записи a и c не равны нулю. Предположим, что a ≠ 0. Тогда
Далее, при условии, что — н.э. ≠ 0,
Следовательно, если ad — bc ≠ 0, то матрица A обратима, и ее обратная матрица равна
(Требование, что a и c не равны 0 одновременно, автоматически включается в условие ad — bc ≠ 0.Проще говоря, обратная величина получается из данной матрицы путем перестановки диагональных элементов, изменения знаков недиагональных элементов и последующего деления на количество и — до н.э. . Эту формулу, обратную матрице 2 x 2, следует запомнить .
Для иллюстрации рассмотрим матрицу
Так как ad — bc = (−2) (5) — (−3) (4) = 2 ≠ 0, матрица обратима, и ее обратное значение равно
Вы можете проверить, что
, а также A ⁻¹ A = I .
Пример 3 : Пусть A будет матрицей
Является ли A обратимым?
№ Редукция строки A создает матрицу
Строка нулей означает, что A не может быть преобразовано в единичную матрицу с помощью последовательности операций над элементарной строкой; A необратима. Другой аргумент в пользу необратимости A следует из теоремы D.Если бы A были обратимы, то теорема D гарантировала бы существование решения для A x = b для для каждого вектора-столбца b = ( b ₁, b ₂, b ₃) ^T. Но A x = b согласован только для тех векторов b , для которых b ₁ + 3 b ₂ + b ₃ = 0.Тогда ясно, что существуют (бесконечно много) векторов b , для которых A x = b несовместимо; таким образом, A не может быть обратимым.
Пример 4 : Что вы можете сказать о решениях однородной системы A x = 0 , если матрица A обратима?
Теорема D гарантирует, что для обратимой матрицы A система A x = b согласована для каждого возможного выбора вектора-столбца b и что уникальное решение дается A ⁻¹ б .В случае однородной системы вектор b равен 0 , поэтому система имеет только тривиальное решение: x = A ⁻¹ 0 = 0 .
Пример 5 : Решите матричное уравнение AX = B , где
Решение 1 . Поскольку A, — 3 x 3, а B, — 3 x 2, если существует матрица X , такая, что AX = B , то X должно быть 3 x 2.Если A обратимо, один из способов найти X — это определить A ^-1, а затем вычислить X = A ^-1 B . Алгоритм [ A | I ] → [ I | A ⁻¹], чтобы найти A ⁻¹, получаем
Следовательно,
т.
Решение 2 . Пусть b ₁ и b ₂ обозначают, соответственно, столбец 1 и столбец 2 матрицы B .Если решение для A x = b ₁ равно x ₁ и решение для A x = b ₂ равно x ₂, то решение для AX = B = [ b ₁ b ₂]: X = [ x ₁ x ₂]. То есть процедура исключения может выполняться в двух системах ( A x = b ₁ и A x = b ₂)
одновременно:
Исключение Гаусса-Джордана завершает оценку компонентов x ₁ и x ₂:
Из этой финальной расширенной матрицы сразу следует, что
, как и раньше.
Легко убедиться, что матрица X действительно удовлетворяет уравнению AX = B :
Обратите внимание, что преобразование в решении 1 было [ A | I ] → [ I | A ^-1], из которого было вычислено A ^-1 B , чтобы получить X . Однако преобразование в решении 2 [ A | B ] → [ I | X ], дал X напрямую.
Интересное свойство перевернутых магических квадратов
Я ботаник. Я открыто признаю это. Иногда я вижу результат в математике, который мне кажется забавным, даже если он не приносит немедленной пользы. Я хотел, чтобы этот блог был о приложениях линейной алгебры, и под этим я имел в виду полезные, если не немного эзотерические, приложения; сочные и интересные приложения с хорошей графикой. Хотя абстрактные приложения линейной алгебры к теоретическим областям математики кому-то полезны, они не дают того практического ощущения, которое мне нужно.Тем не менее, ботаник во мне считает некоторые абстрактные идеи достаточно сексуальными, чтобы включить их в этот блог. Следующее — одно из них. Хотя есть связь между этой идеей и магическими квадратами, которые имеют постоянные суммы строк, я не сразу вижу приложение. Если вы знаете об одном, дайте мне знать.
Теорема (этот пост уже выглядит иначе, чем обычно, потому что в нем есть теорема):
Если обратимая матрица A имеет постоянные суммы строк k , то обратная матрица A имеет постоянные суммы строк 1/ k . Доказательство (О, нет. Доказательство. Просто тогда, когда этот блог выглядел так, будто это был просто забавный материал):
Пусть A будет обратимой матрицей размером м на м с постоянными суммами строк k . Пусть B будет обратным A . Теперь AB = I и диагональные элементы I равны 1. Обратите внимание, что I имеет постоянную сумму строк, равную 1. Хммм. Пусть (1)
— элементы I .Тогда
(2)
— это сумма элементов строки i из I , а
(3)
— это сумма элементов строки n из A . Теперь запишите элементы строки I = BA как сумму произведений элементов A, и B :
(4)
. Теперь мы готовы собрать все это вместе.
Таким образом,
(5)
, но правая часть (5) представляет собой сумму строк i из B .
Это похоже на уловку, и в некотором смысле это так, но уловка законна. То, что мы сделали, начали с суммы строк i из I , записали ее в терминах элементов A и B , а затем увидели, что мы можем вычленить элементы B , оставив суммы строк А . Чтобы помочь вам понять это, внимательно запишите элементы общего BA 3 на 3 в терминах элементов B и A .Теперь просуммируйте одну из строк BA и переставьте так, чтобы можно было выделить различные элементы B . Каждая сумма элементов A слева будет суммой строки. Это не будет доказательством в целом, но оно должно помочь вам понять, что происходит на этом этапе доказательства с переключением сумм, и что это работает, потому что элементы матричного произведения являются суммами, а затем мы суммируем строку сумм , и условия в этих двух суммах можно удобно переставить.
Вопросы :
Мы начали с обратимого A с постоянной суммой строк.Что, если бы A имело постоянную сумму столбцов k вместо суммы строк? Будет ли инверсия A также иметь постоянную сумму столбцов 1/ k ? Как будет доказательство этого? Это было бы отличным упражнением в работе с суммами и индексами.
Это доказательство не сработает, если постоянная сумма строк равна k = 0. Может ли матрица иметь обратную, если k = 0? Если k не равно нулю, гарантируем ли мы, что A обратимый? Можем ли мы определить обратимость магического квадрата только по сумме строк?
Есть ли связь между суммами диагоналей магического квадрата и его обратной?

Магический квадрат, обратный магическому квадрату, является магическим квадратом? Является ли инверсия полумагического квадрата полумагическим квадратом?
Является ли квадрат магического квадрата магическим квадратом? Является ли квадрат полумагического квадрата полумагическим квадратом? Кубики? Четвертые силы?
Обращение матрицы с использованием элементарных операций со строками (Гаусс-Джордан)
Также называется методом Гаусса-Жордана.
Это интересный способ найти обратную матрицу:
Поиграйте со строками (сложение, умножение или замена) пока мы не превратим Matrix A в Identity Matrix I
И, ТАКЖЕ внесение изменений в матрицу идентичности, она волшебным образом превращается в инверсию!
«Элементарные операции со строками» — это простые вещи, такие как добавление строк, умножение и замена местами… но давайте посмотрим на примере:
Пример: найти обратную букву «А»:
Мы начинаем с матрицы A и записываем ее с Матрицей идентичности I рядом с ней:

(это называется «Расширенная матрица»)
Идентификационная матрица
«Матрица идентичности» является матричным эквивалентом числа «1»:

Матрица идентификации 3×3
Это «квадрат» (в нем столько же строк, что и столбцов),
Он имеет 1 с по диагонали и 0 с по всей остальной части.
Его символ — заглавная буква I .
Теперь мы делаем все возможное, чтобы превратить «А» (Матрица слева) в Матрицу Идентичности. Цель состоит в том, чтобы матрица A имела 1 с по диагонали и 0 с в другом месте (матрица идентичности) … и правая сторона идет вместе с каждой операцией, выполняемой с ней.
Но мы можем выполнять только эти «Элементарные операции со строками» :
поменять местами строк
умножить или разделить каждый элемент в строке на константу
заменить строку на добавить или вычесть из нее несколько другой строки
И мы должны сделать это для всей строки , вот так:
Начните с A рядом с I
Добавить строку 2 к строке 1,
, затем разделите строку 1 на 5,
Затем возьмите 2 раза первую строку и вычтите ее из второй строки,
Умножить вторую строку на -1/2,
Теперь поменяйте местами вторую и третью строки,
Наконец, вычтите третью строку из второй строки,
И готово!
И матрица была преобразована в матрицу идентичности…
… и в то же время идентификационная матрица превратилась в A ^-1
СДЕЛАНО! Как по волшебству, и так же весело, как решать любую головоломку.
И обратите внимание: не существует «правильного способа» сделать это, просто продолжайте играть, пока у нас не получится!
(Сравните этот ответ с тем, который мы получили об обратной матрице с использованием младших, сомножителей и адъюгата. Это то же самое? Какой метод вы предпочитаете?)
Большие матрицы
Мы можем сделать это с матрицами большего размера, например, попробуйте эту матрицу 4×4:
Начать как это:
Посмотри, сможешь ли ты сделать это сам (я бы начал с деления первой строки на 4, но ты делаешь это по-своему).
Вы можете проверить свой ответ с помощью калькулятора матрицы (используйте кнопку «inv (A)»).
Почему это работает
Мне нравится думать об этом так:
когда мы превращаем «8» в «1» путем деления на 8,
и проделайте то же самое с «1», он превратится в «1/8»
И «1/8» является (мультипликативным) , обратным 8
Или, точнее говоря:
Общий эффект всех операций со строками такой же, как , умноженный на A ^-1
Итак, A становится I (потому что A ^-1 A = I )
And I становится A ^-1 (потому что A ^-1 I = A ^-1 )
Обращение матрицы
Пожалуйста, сначала прочтите наше Введение в матрицы.
Что такое обратная матрица?
Это обратное число :

Обратное число
Инверсия матрицы — это та же идея , но мы пишем ее A ^-1
Почему не ¹/_A? Потому что мы не делим по матрице! Да и вообще ¹/₈ тоже можно написать 8 ^-1
И есть другие сходства:
Когда мы умножаем число на его , обратное , мы получаем 1
Когда мы умножаем матрицу на ее инверсную , мы получаем Identity Matrix (которая похожа на «1» для матриц):
То же, что и обратное:
Матрица идентификации
Мы только что упомянули «Матрицу идентичности».Это матричный эквивалент числа «1»:
.

Матрица идентификации 3×3
Это «квадрат» (в нем столько же строк, что и столбцов),
Он имеет 1 с по диагонали и 0 с по всей остальной части.
Его символ — заглавная буква I .
Матрица идентичности может иметь размер 2 × 2 или 3 × 3, 4 × 4 и т. Д.
Определение
Вот определение:
Аргумент A равен A ^-1, только если:
A × A ^-1 = A ^-1 × A = I
Иногда обратного нет вообще.
Матрица 2×2
Хорошо, как рассчитать обратное?
Ну, для матрицы 2×2 обратное значение:
Другими словами: меняет местами позиции a и d, помещает негативов перед b и c, а делит все на определитель (ad-bc).
Давайте попробуем пример:
Откуда мы знаем, что это правильный ответ?
Помните, что должно быть правдой следующее: A × A ^-1 = I
Итак, давайте посмотрим, что произойдет, когда мы умножим матрицу на ее обратную:
И, привет !, мы получили Матрицу идентичности! Так что это должно быть правильно.
Должно быть также , что верно, что: A ^-1 × A = I
Почему бы вам не попробовать их умножить? Посмотрите, получите ли вы также Identity Matrix:
Зачем нужен инверс?
Потому что с матрицами мы не делим ! А если серьезно, то нет понятия деления матрицей.
Но мы можем умножить на обратное , что даст то же самое.
Представьте, что мы не можем делить на числа…
… и кто-то спрашивает: «Как мне поделиться 10 яблоками с 2 людьми?»
Но мы можем взять , обратное из 2 (что составляет 0,5), поэтому мы ответим:
10 × 0,5 = 5
Они получают по 5 яблок.
То же самое можно сделать с матрицами:
Допустим, мы хотим найти матрицу X и знаем матрицы A и B:
XA = B
Было бы неплохо разделить обе стороны на A (чтобы получить X = B / A), но помните, что мы не можем разделить .
Но что, если мы умножим обе стороны на A ^-1?
XAA ^-1 = BA ^-1
И мы знаем, что AA ^-1 = I, поэтому:
XI = BA ^-1
Мы можем удалить I (по той же причине мы можем удалить «1» из 1x = ab для чисел):
X = BA ^-1
И у нас есть ответ (при условии, что мы можем вычислить A ^-1)
В этом примере мы очень внимательно следили за правильностью умножения, потому что в случае с матрицами порядок умножения имеет значение.AB почти никогда не совпадает с BA.
Пример из реальной жизни: автобус и поезд
Группа поехала на автобусе по цене 3 доллара за ребенка и 3,20 доллара за взрослого на общую сумму 118,40 доллара.
Они сели обратно на поезд по цене 3,50 доллара за ребенка и 3,60 доллара за взрослого, итого 135,20 доллара.
Сколько детей и сколько взрослых?
Во-первых, давайте настроим матрицы (будьте осторожны, чтобы строки и столбцы были правильными!):
Это как в примере выше:
XA = B
Итак, чтобы решить эту проблему, нам нужна обратная величина к «A»:
Теперь у нас есть обратное, которое мы можем решить с помощью:
X = BA ^-1
Было 16 детей и 22 взрослых!
Ответ кажется почти волшебным.Но он основан на хорошей математике.
Подобные вычисления (но с использованием гораздо больших матриц) помогают инженерам проектировать здания, используются в видеоиграх и компьютерной анимации, чтобы вещи выглядели трехмерными, и во многих других местах.
Это также способ решения систем линейных уравнений.
Расчеты производятся компьютером, но люди должны понимать формулы.
Порядок важен
Скажем, в данном случае мы пытаемся найти «X»:
AX = B
Это отличается от приведенного выше примера! X теперь после A.
В случае матриц порядок умножения обычно меняет ответ. Не предполагайте, что AB = BA, это почти никогда не верно.
Так как же решить эту проблему? Используя тот же метод, но впереди поставьте A ^-1:
.
A ^-1 AX = A ^-1 B
И мы знаем, что A ^-1 A = I, поэтому:
IX = A ^-1 B
Мы можем удалить I:
X = A ^-1 B
И у нас есть ответ (при условии, что мы можем вычислить A ^-1)
Почему бы нам не попробовать наш пример с автобусом и поездом, но с данными, настроенными таким образом.
Это можно сделать таким образом, но мы должны быть осторожны при настройке.
Вот как это выглядит как AX = B:
Выглядит так аккуратно! Я думаю, что предпочитаю это так.
Также обратите внимание, как строки и столбцы меняются местами в
(«транспонировано») по сравнению с предыдущим примером.
Чтобы решить эту проблему, нам понадобится обратное к «А»:

Это похоже на обратное, которое мы получили раньше, но
транспонировано (строки и столбцы поменялись местами).
Теперь мы можем решить, используя:
X = A ^-1 B
Тот же ответ: 16 детей и 22 взрослых.
Итак, матрицы — мощная вещь, но их нужно правильно настраивать!
Обратное может не существовать
Во-первых, чтобы иметь инверсию, матрица должна быть «квадратной» (то же количество строк и столбцов).
Но также определитель не может быть нулем (или мы закончим делением на ноль). Как насчет этого:
24-24? Это равно 0, а 1/0 не определено .
Мы не можем идти дальше! У этой Матрицы нет Инверсии.
Такая матрица называется «сингулярной», что происходит только тогда, когда определитель равен нулю.
И это имеет смысл … посмотрите на числа: вторая строка просто удваивает первую строку, и не добавляет никакой новой информации .
И определитель сообщает нам об этом факте.
(Представьте, что в нашем примере с автобусом и поездом цены на поезд были ровно на 50% выше, чем на автобусе: так что теперь мы не можем найти никаких различий между взрослыми и детьми.Должно быть что-то, что отличало бы их.)
Матрицы большего размера
Обратное к 2×2 равно easy … по сравнению с более крупными матрицами (такими как 3×3, 4×4 и т. Д.).
Для больших матриц есть три основных метода вычисления обратного:
Заключение
Аргумент A равен A ^-1, только если A × A ^-1 = A ^-1 × A = I
Чтобы найти обратную матрицу 2×2: поменять местами позиции a и d, поставить негативов перед b и c и разделить все на определитель (ad-bc).
Иногда обратного нет вообще
Обращение матрицы
Мультипликативная обратная квадратная матрица называется ее обратной матрицей. Если матрица А имеет обратное, то А как говорят неособый или обратимый. А единственное число матрица не имеет инверсии. Чтобы найти обратную квадратную матрицу А , вам нужно найти матрицу А — 1 так что продукт А и А — 1 — единичная матрица.
Другими словами, для каждой квадратной матрицы А которая является невырожденной, существует обратная матрица, обладающая тем свойством, что А А — 1 знак равно А — 1 А знак равно я , куда я — единичная матрица подходящего размера.
Вы можете использовать любой из следующих методов, чтобы найти обратную квадратную матрицу.
Способ 1:
Позволять А быть п × п матрица.
1. Напишите дважды расширенную матрицу [ А | я п ] .
2. Примените элементарные операции со строками, чтобы записать матрицу в сокращенной форме строки-эшелона.
3. Решите, будет ли матрица А обратима (неособа).
4. Если А сводится к единичной матрице я п , потом А — 1 — матрица справа от преобразованной расширенной матрицы.
5. Если А не сводится к единичной матрице, то А единственное число.
Способ 2:
Вы можете использовать следующую формулу при нахождении обратной величины п × п матрица.
Если А является невырожденной матрицей, существует обратная матрица, которая задается формулой А — 1 знак равно 1 | А | ( прил А ) , куда | А | — определитель матрицы.
Пример :
Найти А — 1 , если он существует. Если А — 1 не существует, пишите в единственном числе.
А знак равно [ 1 2 1 1 ]
Шаг 1:
Напишите дважды расширенную матрицу [ А | я п ] .
[ А | я ] знак равно [ 1 2 1 0 1 1 0 1 ]
Шаг 2:
Примените элементарные операции со строками, чтобы записать матрицу в сокращенной форме строки-эшелона.
[ 1 2 1 0 0 1 1 — 1 ] р 2 знак равно р 1 — р 2 [ 1 0 — 1 2 0 1 1 — 1 ] р 1 знак равно — 2 р 2 + р 1 [ 1 0 — 1 2 0 1 1 — 1 ] знак равно [ я | А — 1 ]
У системы есть решение.
No related posts.

3	2	-5	х		3x + 2y — 5z
1	-3	2	y	=	1x — 3y + 2z
5	–1	4	z		5x — 1y + 4z

Логин:
Пароль:

Ряд обратных квадратов: Сумма ряда обратных квадратов (Basel problem)

Сумма ряда обратных квадратов (Basel problem)

Ряд обратных квадратов — Вики

История

Сходимость ряда

Второй метод Эйлера

Некоторые применения

Примечания

Литература

ряд Эйлера, гармонический ряд, последовательность Фибоначчи

Здравствуйте

1. Базельская задача

3. Тождество Эйлера

4. О свойствах степенных рядов

О математических статьях: mancunian — LiveJournal

Калейдоскоп формул для пи

4. Формула Валлиса

Обратная квадратная матрица

Реальные числа

Обратная матрица

Требования к инверсу

Трудный путь в поисках обратного

Ярлык для поиска инверсии матрицы 2 × 2

Пример ярлыка

Использование калькулятора

Вход в матрицу

Использование матриц

Нахождение обратной матрицы на калькуляторе

Зачем понадобился инверс?

Решение систем линейных уравнений

Убедитесь, что AX = B

Это просто, почему мы не всегда так делаем?

матриц — Как найти инверсию только блока последней строки блочной матрицы?

Использование элементарных операций со строками для определения A − 1

Интересное свойство перевернутых магических квадратов

Обращение матрицы с использованием элементарных операций со строками (Гаусс-Джордан)

Пример: найти обратную букву «А»:

Идентификационная матрица

Большие матрицы

Почему это работает

Обращение матрицы

Что такое обратная матрица?

Матрица идентификации

Определение

Матрица 2×2

Зачем нужен инверс?

Представьте, что мы не можем делить на числа…

Пример из реальной жизни: автобус и поезд

Порядок важен

Обратное может не существовать

Матрицы большего размера

Заключение

Обращение матрицы

Станьте первым комментатором

Добавить комментарий Отменить ответ